2027학년도 신한대학교 약술형 논술 수학 실전 모의고사 제3회 문제집+해설집 (중 (기존유형 기본))

$a = \log_2 3^{4} = 4\log_2 3$이고, $b = \log_3 2^{4} = 4\log_3 2$이다.

밑의 변환 공식 $\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$을 적용하면
$$ab = (4\log_2 3) \times \frac{4}{\log_2 3} = 16$$

$\log_2 256 = \log_2 2^{8} = 8$이므로 구하는 값은 $(16)^{\frac{1}{2}} + 8$이다.

$x = 2$을 대입하면 $\log_{2} 2 = 1$이므로
$$1^2 - 1k + 4 = 0 \implies 1k = 5 \implies k = 5$$

$\log_{2} x = t$로 치환하면 $t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4) = 0$이므로 $t = 1$ 또는 $t = 4$이다.

$\alpha < \beta$이므로 $\log_{2} \beta = 4 \implies \beta = 2^{4} = 16$이다.

부채꼴의 호의 길이를 $l$이라 하면 $2r + l = 18 \implies l = 18 - 2r$이다.
넓이 $S = \dfrac{1}{2}rl = 18$에 대입하면
$$\frac{1}{2}r(18 - 2r) = 18 \implies r^2 - 9r + 18 = 0$$

방정식을 풀면 $r \ge 4$이므로 $r = 6$이고, $l = 18 - 2(6) = 6$이다.
따라서 중심각의 크기는 $\theta = \dfrac{l}{r} = 1$이다.

코사인법칙에 의하여
$$\begin{aligned} \overline{BC}^2 &= 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\ &= 9 + 64 - 24=49 \end{aligned}$$
$\overline{BC} > 0$이므로 $\overline{BC} = 7$이다.

사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin A} = 2R$에서 $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$이므로
$$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} \implies R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$$

$a_7 - a_4 = 3d = 18$이므로 공차 $d = 6$이다.
$a_4 = a_1 + 3d = a_1 + 18 = 22$이므로 첫째항 $a_1 = 4$이다.

$$S_{10} = \frac{10(2a_1 + 9d)}{2} = 5\left(2 \times 4 + 9 \times 6\right) = 5 \times 62 = 310$$

$x \to 4$일 때 분모 $x^2 - 16 \to 0$이고 유한한 극한값이 존재하므로
$$\lim_{x \to 4} \left(\sqrt{x+a} - b\right) = \sqrt{4+a} - b = 0 \implies b = \sqrt{4+a}$$

$$\begin{aligned} &\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{4+a}}{(x - 4)(x + 4)} \\ &= \lim_{x \to 4} \frac{1}{(x + 4)\left(\sqrt{x+a} + \sqrt{4+a}\right)} \\ &= \frac{1}{16\sqrt{4+a}}=\frac{1}{64} \end{aligned}$$
따라서 $\sqrt{4+a} = 4 \implies a = 12$이고, $b = 4$이다.

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 7x + 1$이라 하면 $f'(x) = 3x^2 - 8x + 7$이므로
$$a = f'(2) = 12 - 16 + 7 = 3$$

점 $(2, 7)$을 지나고 기울기가 $3$인 접선의 방정식은
$$y - (7) = 3(x - 2) \implies y = 3x + (1)$$
따라서 $b = 1$이다.

$f'(x) = 6x^2 + 2ax + b = 6(x + 1)(x - 3) = 6x^2 + (-12)x + (-18)$이므로
$$2a = -12 \implies a = -6, \quad b = -18$$

$$f(-1) = -2 + (-6) - (-18) + c = 14 \implies c = 4$$

$$f(3) = 2(27) + (-6)(9) + (-18)(3) + (4) = -50$$

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2at + b, \quad \alpha(t) = \frac{dv}{dt} = 6t + 2a$$

$\alpha(3) = 18 + 2a = 16 \implies a = -1$이고,
$v(3) = 27 + 6(-1) + b = 0 \implies b = -21$이다.

홀수차 항 $4x^3, 8x$는 기함수이므로 구간 $[-1, 1]$에서의 정적분이 $0$이다.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} (-9x^2 - 3)\,dx = 2\Big[-3x^3 - 3x\Big]_{0}^{1} = 2(-3 - 3) = -12$$

$$\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \Big[x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x\Big]_{0}^{1} = 1 - 3 + 4 - 3 = -1$$